線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 1 & 1 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - λ) (1 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.1.2

$- λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.2.2

$- λ$ から $λ$ を引きます。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.1.3

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} - - 1$

ステップ 5.2.1.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 1$

ステップ 5.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 2$

ステップ 5.2.3

$- 2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 2$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 2 λ + 2 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

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ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$λ = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$λ = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$λ = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$λ = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$λ = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 7.3.3

$\frac{2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$λ = 1 \pm i$

ステップ 7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = 1 + i, 1 - i$

線形代数 例

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